Paul Halmos известные цитаты

Единственный способ выучить математику - это заниматься математикой.

Лучший способ учиться - это делать; худший способ учить - это говорить.

Многие преподаватели обеспокоены объемом материала, который они должны охватить в курсе. Один циник предложил формулу: поскольку, по его словам, студенты в среднем запоминают только около 40% того, что вы им рассказываете, нужно втиснуть в каждый курс 250% того, что, как вы надеетесь, запомнится.

... источником всей великой математики является частный случай, конкретный пример. В математике часто бывает так, что каждый пример концепции, кажущейся общностью, по сути, является небольшим и конкретным частным случаем.

Вам позволено немного солгать, но вы никогда не должны вводить в заблуждение.

Умный аспирант мог бы научить Фурье чему-то новому, но, конечно, никто не утверждает, что он мог бы научить Архимеда рассуждать лучше.

Прикладная математика всегда будет нуждаться в чистой математике, точно так же, как муравьеды всегда будут нуждаться в муравьях.

Феллер был энергичным человеком, который предпочел бы ошибиться, чем пребывать в нерешительности.

Библиотека - это лаборатория математика.

Математическое братство чем-то напоминает самосохраняющееся духовенство. Математики сегодняшнего дня учат математиков завтрашнего дня и, по сути, решают, кого принимать в священники.

Новичку не следует расстраиваться, если он обнаружит, что у него нет необходимых условий для прочтения предварительных условий.

Я помню один случай, когда я попыталась добавить немного остроты в рецензию, но мне не разрешили. Статья была написана Дороти Махарам, и это был совершенно ценный вклад в абстрактную теорию измерения. Области применения базовых мер были не множествами, а элементами более общих булевых алгебр, и их диапазон состоял не из положительных чисел, а из определенных абстрактных классов эквивалентности. Мое первое предложение было таким: "Автор обсуждает бесполезные меры в бессмысленных пространствах".

Математика - это не дедуктивная наука, это клише... То, что вы делаете, - это метод проб и ошибок, эксперименты, догадки.

Меня огорчает, что образованные люди даже не знают о существовании моего предмета.

Чтобы стать знатоком математики, вы должны родиться с талантом, проницательностью, концентрацией внимания, вкусом, удачей, целеустремленностью и способностью визуализировать и угадывать.

Компьютер важен, но не для математики.

Математика - это может кого-то удивить или шокировать - никогда не бывает дедуктивной в творчестве.

Математика - это не дедуктивная наука, это клише. Когда вы пытаетесь доказать теорему, вы не просто перечисляете гипотезы, а затем начинаете рассуждать. Все, что вы делаете, - это метод проб и ошибок, эксперимент и догадки.

[Математика] - это безопасность. Определенность. Правда. Красота. Проницательность. Структура. Архитектура. Я рассматриваю математику, ту часть человеческого знания, которую я называю математикой, как единое целое - одну великую, славную вещь. Будь то дифференциальная топология, функциональный анализ или гомологическая алгебра, все это одно и то же. ... Они тесно взаимосвязаны, все они являются гранями одного и того же. Эта взаимосвязь, эта архитектура - надежная истина и красота. Вот что такое математика для меня.

Что самое лучшее в том, чтобы быть математиком? Я не религиозный человек, но, когда думаешь о математике, это почти как общение с Богом. Бог хранит от нас секреты, и интересно попытаться узнать некоторые из них.

Долг всех учителей, и в частности учителей математики, состоит в том, чтобы знакомить своих учеников с проблемами гораздо больше, чем с фактами.

Радость от внезапного раскрытия бывшей тайны и радость от внезапного открытия доселе неизвестной истины для меня одинаковы - и то, и другое сопровождается вспышкой просветления, почти невероятно расширенным видением, а также экстазом и эйфорией от снятого напряжения.

Хорошая подборка примеров, как можно более объемных, необходима для глубокого понимания любой концепции, и когда я хочу научиться чему-то новому, я в первую очередь стараюсь создать такой пример.

Если бы Национальный научный фонд никогда не существовал, если бы правительство никогда не финансировало американскую математику, у нас было бы вдвое меньше математиков, чем сейчас, и я не вижу в этом ничего плохого.

Самым впечатляющим в Джонни [фон Неймане] была не его математическая сила, которая была велика, или его проницательность и ясность, а его быстрота; он был очень, очень быстр. И подобно современному компьютеру, который больше не утруждает себя извлечением логарифма числа 11 из своей памяти (а вместо этого вычисляет логарифм числа 11 каждый раз, когда это необходимо), Джонни не утруждал себя запоминанием данных. Он их вычислял. Вы задавали ему вопрос, и если он не знал ответа, он думал три секунды, а потом придумывал его и отвечал.

.. студенческая сценка на Рождество содержала жалобную строчку: "Дайте нам магистерские экзамены, которые может сдать наш факультет, или дайте нам факультет, который может сдать наши магистерские экзамены".

Когда приходит студент и спрашивает: "Должен ли я стать математиком?" ответом должно быть "нет". Если вам нужно спросить, вы не должны даже спрашивать.

Однажды я прочитал, что истинный признак профессионала - в чем бы то ни было - это то, что он понимает, любит и хорошо справляется даже с тяжелой работой своей профессии.

Автор обсуждает бесполезные меры в бессмысленных пространствах.

Суть математики - это ее задачи.

Единственный способ выучить математику - это заниматься математикой. Этот принцип лежит в основе метода "сделай сам", сократовского или техасского метода...

Сердце математики состоит из конкретных примеров и конкретных задач. Большие общие теории обычно являются запоздалыми размышлениями, основанными на небольших, но глубоких открытиях; сами открытия приходят из конкретных частных случаев.

Не просто читайте, а боритесь с этим! Задавайте свои собственные вопросы, ищите свои собственные примеры, находите свои собственные доказательства. Необходима ли гипотеза? Верно ли обратное? Где в доказательстве используется гипотеза?