George Polya известные цитаты

Математика - самая дешевая наука. В отличие от физики или химии, для ее изучения не требуется дорогостоящего оборудования. Все, что нужно для изучения математики, - это карандаш и бумага.

Великое открытие решает великую проблему, но в решении любой проблемы есть зерно открытия. Ваша проблема может быть скромной, но если она вызовет ваше любопытство и задействует ваши изобретательские способности, а также если вы решите ее своими силами, вы можете испытать напряжение и насладиться триумфом открытия.

С чего мне следует начать? Начните с формулировки проблемы. ... Что я могу сделать? Представьте проблему в целом как можно более четко и наглядно... Что я могу получить, сделав это? Вы должны понять проблему, ознакомиться с ней, запечатлеть в своем сознании ее цель.

Даже довольно хорошие ученики, когда они находят решение задачи и аккуратно записывают аргументацию, закрывают учебники и ищут что-нибудь другое. Поступая так, они пропускают важный и поучительный этап работы. ... Хороший учитель должен понимать и внушать своим ученикам мысль о том, что ни одна проблема не является полностью исчерпанной.

Красота математики в том, чтобы видеть истину без усилий.

Педантизм и мастерство - это противоположные подходы к правилам. Строго и беспрекословно следовать правилу в тех случаях, когда оно подходит, и в тех случаях, когда оно не подходит, - это педантизм. [...] Применять правило с естественной легкостью, взвешенно, отмечая случаи, в которых оно подходит, и никогда не позволяя словам правила заслонять цель действия или возможности ситуации, - это мастерство.

Если вы хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если вы хотите научиться решать проблемы, вы должны сами решать их.

Эпитафия Ньютону: "Природа и законы природы были скрыты ночью: Бог сказал: "Да будет Ньютон!" - и все стало светло. [добавлено сэром Джоном Коллингсом сквайром: Это продолжалось недолго: дьявол закричал "Хо! Оставь Эйнштейна в покое", восстановил статус-кво] [Версия Аарона Хилла: По законам природы Бог отбросил покров ночи, душа Ньютона вспыхнула, и все стало светло.

Мой метод преодоления трудности заключается в том, чтобы обойти ее стороной.

Чтобы перевести предложение с английского на французский, необходимы две вещи. Во-первых, мы должны хорошо понимать английское предложение. Во-вторых, мы должны быть знакомы с формами выражения, характерными для французского языка. Ситуация очень похожа на ту, когда мы пытаемся выразить математическими символами условие, предложенное словами. Во-первых, мы должны хорошо понимать это условие. Во-вторых, мы должны быть знакомы с формами математического выражения.

Решение проблем - это такой же практический навык, как, скажем, плавание. Любой практический навык мы приобретаем путем подражания и практики. Пытаясь плавать, вы имитируете то, что другие люди делают руками и ногами, чтобы держать голову над водой, и, в конце концов, вы учитесь плавать, практикуясь в плавании. Пытаясь решить проблемы, вы должны наблюдать и подражать тому, что делают другие люди при решении проблем, и, в конце концов, вы учитесь решать проблемы, выполняя их.

Если есть проблема, которую вы не можете решить, то есть более простая проблема, которую вы не можете решить: найдите ее.

Первое правило стиля - иметь, что сказать. Второе правило стиля - держать себя в руках, когда случайно у вас возникает желание сказать две вещи; говорите сначала одну, потом другую, но не обе одновременно.

Я слишком хорош для философии и недостаточно хорош для физики. Математика находится где-то посередине.

Математика - это не зрелищный вид спорта!

Математика состоит в том, чтобы доказать самую очевидную вещь наименее очевидным способом.

Успех в решении проблемы зависит от правильного выбора ракурса, от атаки крепости с ее доступной стороны.

Лучше решить одну проблему пятью разными способами, чем решить пять проблем одним способом.

У математики есть два лица: это строгая наука Евклида, но это также и нечто другое. Математика, представленная в евклидовом виде, предстает как систематическая, дедуктивная наука; но математика в процессе становления предстает как экспериментальная, индуктивная наука. Оба аспекта так же стары, как и сама математика.

Манера изложения Евклида, неуклонно продвигающегося от данных к неизвестному и от гипотезы к выводу, идеальна для детальной проверки аргументации, но далека от совершенства для того, чтобы сделать понятной основную линию аргументации.

Аналогия пронизывает все наше мышление, нашу повседневную речь и наши тривиальные выводы, а также художественные способы выражения и высочайшие научные достижения.

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, вы смотрите на него до тех пор, пока вам не придет в голову решение.

В "комментарии" (записке, представленной Российской академии наук), в котором впервые была опубликована его теорема о многогранниках (о числе граней, ребер и вершин), Эйлер не приводит никаких доказательств. Вместо доказательства он предлагает индуктивный аргумент: он проверяет соотношение в различных частных случаях. Нет сомнений в том, что он также открыл эту теорему, как и многие другие свои результаты, индуктивным путем.

Я намеренно избегаю стандартного термина, которого, кстати, не существовало во времена Эйлера. Одним из самых уродливых последствий "новой математики" стало преждевременное введение технических терминов.

Математик, который может только обобщать, подобен обезьяне, которая может только взбираться на дерево, а математик, который может только специализироваться, подобен обезьяне, которая может только спускаться с дерева. На самом деле ни восходящая, ни нисходящая обезьяны не являются жизнеспособными существами. Настоящая обезьяна должна находить пищу и спасаться от врагов, а значит, должна уметь постоянно карабкаться вверх и спускаться вниз. Настоящий математик должен уметь обобщать и специализироваться.

Однажды у Гильберта был студент-математик, который перестал посещать его лекции, и в конце концов ему сказали, что молодой человек ушел, чтобы стать поэтом. Сообщается, что Гильберт заметил: "Я никогда не думал, что у него достаточно воображения, чтобы стать математиком".

Этот принцип настолько совершенно общий, что никакое конкретное применение его невозможно.

Первая и важнейшая обязанность средней школы в преподавании математики - уделять особое внимание методической работе при решении задач...Учитель, который хочет в равной степени обслуживать всех своих учеников, как будущих пользователей математики, так и тех, кто ею не пользуется, должен обучать решению задач так, чтобы оно на одну треть состояло из математики и на две трети из здравого смысла.

Правильно писать и говорить, конечно, необходимо, но этого недостаточно. Вывод, правильно представленный в книге или на доске, может оказаться недоступным и неинформативным, если цель последовательных шагов непонятна, если читатель или слушатель не может понять, как в человеческих силах было найти такой аргумент....

Идея, которую можно использовать один раз, - это трюк. Если ее можно использовать несколько раз, это становится методом.

Лучшая из идей страдает от некритического восприятия и расцветает при критическом рассмотрении.

ВЕЛИКОЕ открытие решает великую проблему, но в любой проблеме есть зерно открытия.

Элегантность математической теоремы прямо пропорциональна количеству независимых идей, которые можно увидеть в теореме, и обратно пропорциональна усилиям, которые требуются, чтобы увидеть их.

Всему миру не терпится восхититься этой вершиной и кульминацией современной математики: теоремой настолько совершенно общей, что никакое конкретное применение ее невозможно.

Довольно часто, когда появляется идея, которая могла бы оказаться полезной, мы не придаем ей значения, потому что она настолько незаметна. У эксперта, возможно, не больше идей, чем у неопытного, но он больше ценит то, что у него есть, и лучше использует это.

Чтобы эффективно преподавать, учитель должен проникнуться своим предметом; он не сможет заставить своих учеников ощутить его жизненную силу, если сам этого не почувствует. Он не может поделиться своим энтузиазмом, когда ему нечем поделиться. То, как он излагает свою точку зрения, может быть так же важно, как и то, что он высказывает; он должен лично чувствовать, что это важно.

Преподаватель редко может позволить себе пропустить вопросы: Что такое неизвестное? Каковы данные? Каково условие? Студент должен внимательно, неоднократно и с разных сторон рассмотреть основные аспекты проблемы.

Одна из первых и главных обязанностей преподавателя - не создавать у своих учеников впечатления, что математические задачи слабо связаны друг с другом и вообще ни с чем не связаны. У нас есть естественная возможность исследовать взаимосвязи в задаче, оглядываясь на ее решение.

Если вы не можете решить предложенную задачу, попробуйте сначала решить какую-нибудь смежную проблему.

Есть много вопросов, которые могут задать глупцы, на которые мудрецы не могут ответить.

Первое правило открытия - это иметь мозги и удачу. Второе правило открытия - сидеть сложа руки и ждать, пока тебе в голову не придет блестящая идея.

Будучи введенной в неподходящее время или в неподходящем месте, хорошая логика может стать злейшим врагом хорошего преподавания.

Математика - это лень. Математика позволяет принципам выполнять работу за вас, чтобы вам не приходилось выполнять ее самостоятельно

Геометрия - это наука о правильных рассуждениях на основе неправильных фигур.

Главный секрет настоящего успеха заключается в том, чтобы вложить всю свою индивидуальность в решение проблемы.

В Цюрихе был семинар для продвинутых студентов, который я вел, и на нем присутствовал фон Нейман. Я пришел к определенной теореме и сказал, что она не доказана и это может быть сложно. Фон Нейман ничего не сказал, но через пять минут он поднял руку. Когда я обратился к нему, он подошел к доске и начал записывать доказательство. После этого я стал бояться фон Неймана.

Если доказательство начинается с аксиом, выделяет несколько случаев и занимает тринадцать строк в учебнике... у детей может сложиться впечатление, что математика заключается в доказательстве наиболее очевидных вещей наименее очевидным способом.

Будущий математик... должен решать задачи, выбирать задачи по своей специальности, размышлять над их решением и придумывать новые задачи. Таким образом, как и всеми другими способами, он должен попытаться сделать свое первое важное открытие: он должен обнаружить свои симпатии и антипатии, свой вкус, свою собственную линию поведения.

Когда вы соберете свой первый гриб или сделаете свое первое открытие, оглянитесь вокруг: они растут целыми гроздьями.

Если вам нужно доказать теорему, не спешите. Прежде всего, полностью разберитесь в том, что говорится в теореме, постарайтесь ясно понять, что она означает. Затем проверьте теорему; она может быть ложной. Проанализируйте следствия, проверьте столько конкретных примеров, сколько необходимо, чтобы убедиться в истинности теоремы. Когда вы убедитесь, что теорема верна, вы можете приступить к ее доказательству.